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本章节接续上一部分内容，完整地给出了凯莱定理的证明，并将其推广到有限群的实表示，揭示了任何有限群都可以被看作是某个一般线性群$GL_n(\mathbb{R})$的子群。
📜 [原文1]
为了找到同态 $f$，对于每个 $g \in G$，我们必须找到一个双射 $\ell_{g}: G \rightarrow G$。$\ell_{g}$ 的定义在我们的群论学习之初就已经预示了：通过 $\ell_{g}(x)=g x$ 定义 $\ell_{g}: G \rightarrow G$。因此，函数 $\ell_{g}$ 是通过 $g$ 进行的左乘，字母 $\ell$ 的选择也来源于此。我们已经看到，对于每个 $g$，$\ell_{g}$ 是一个双射，即是 $S_{G}$ 的一个元素（群讲义的推论 3.4）。然后通过以下方式定义 $f: G \rightarrow S_{G}$：
这段话的目标是为凯莱定理的证明构造一个关键的函数，即一个群同态 $f$。凯莱定理指出：任何一个群 $G$ 都同构于一个置换群的子群。证明这个定理的核心步骤就是找到一个从 $G$ 到一个合适的置换群的单射同态（即一一对应的保结构映射）。
这个公式的核心思想是“群元操作化”：它把群中的一个静态的元素 $g$，变成了一个动态的操作（或者说函数）$\ell_g$。
本段的核心是定义了一个从群 $G$ 到其自身的对称群 $S_G$ 的映射 $f$，其定义为 $f(g) = \ell_g$。其中，$\ell_g$ 是由元素 $g$ 产生的左乘操作，即 $\ell_g(x)=gx$。这个 $\ell_g$ 被证明是一个双射（即置换），因此是 $S_G$ 的一个合法元素。这个映射 $f$ 是构建凯莱定理证明的关键一步。
本段的目的是为凯莱定理的证明奠定基础。为了证明任何群都同构于一个置换群，我们必须首先构造一个从这个群到某个置换群的映射。本段就完成了这个构造任务，定义了最自然、最直接的映射 $f$。后续的段落将继续证明这个 $f$ 确实是我们所需要的单射同态。
想象群 $G$ 的所有元素 $\{g_1, g_2, \dots, g_n\}$ 是一排小球。群中的一个元素 $g$ 就像一个“操作员”。当 $g$ 出场时，它会对所有小球执行一个统一的动作：用自己去左乘每一个小球。例如，如果小球是 $x$，操作后就变成了 $gx$。这个操作会重新排列所有小球的位置，但不会创造或消灭任何小球，也不会把两个小球合并成一个。因此，这个操作是一个置换。
凯莱定理的这个构造，就是说，我们可以把群的每个“操作员” $g$ 本身，就看作是它所引起的那个“小球重排置换” $\ell_g$。群 $G$ 就好比一个“操作员群”，而 $S_G$ 里的子群就是这些操作员引起的“置换之群”。
想象一个魔方。群 $G$ 可以是所有可能转动操作的集合（比如“顶层顺时针转90度”这个操作就是一个元素 $g$）。集合 $X$ 是魔方所有可能的颜色状态。当我们执行操作 $g$ 时，魔方的状态就从 $x$ 变成 $g(x)$。凯莱定理的证明稍微有些不同，它让操作作用在操作本身构成的集合上。
想象一群人站成一排，他们是群 $G$ 的元素。现在，其中一个人 $g$ 走出来，对队伍里的每一个人 $x$ 说：“站到我左边来，我们俩的位置由我们的乘积 $gx$ 决定”。这样一来，整个队伍就重新排列了。这个“重新排列”的动作，就是 $\ell_g$。而 $f(g)$ 就是把“发号施令的人 $g$”和“他引起的这场队列重排”等同起来。
📜 [原文2]
我们首先检查 $f$ 是否是一个同态。我们必须证明 $f(g h)=f(g) f(h)$，或者等价地证明 $\ell_{g h}=\ell_{g} \circ \ell_{h}$。为了检查这些函数的等式，我们检查对于每个 $x \in G$，它们在 $x$ 上的值是否相等。但是
因此 $f$ 是一个同态。
在上一段定义了映射 $f: G \rightarrow S_G$ 之后，这一步的任务是验证 $f$ 是否保持了群的结构，即验证 $f$ 是一个群同态。
本段证明了前文定义的映射 $f(g)=\ell_g$ 是一个群同态。证明的关键在于将同态条件 $f(gh) = f(g) \circ f(h)$ 转化为函数等式 $\ell_{gh} = \ell_g \circ \ell_h$，并通过对任意元素 $x \in G$ 应用这两个函数，发现两者的结果 $\ell_{gh}(x)=(gh)x$ 和 $(\ell_g \circ \ell_h)(x)=g(hx)$ 正好因群的结合律而相等。因此，$f$ 保持了群的运算结构。
这是凯莱定理证明的第二步。第一步是“构造映射”，这一步是“验证映射保持结构”。一个保持结构的映射（同态）是群之间建立有意义联系的桥梁。只有证明了 $f$ 是同态，我们才能继续讨论它是否是单射，进而得出同构的结论。
回到“操作员和一排小球”的模型。
用魔方举例。假设 $g$ 是“顶层顺时针转90度”，$h$ 是“右侧顺时针转90度”。
📜 [原文3]
最后，我们必须证明 $f$ 是单射的。可以通过应用命题 1.2.4 来完成，但直接论证也很容易：如果 $\ell_{g}=\ell_{h}$，那么函数 $\ell_{g}$ 和 $\ell_{h}$ 在任何 $x \in G$ 上都具有相同的值，特别是当 $x=1$ 时。因此 $\ell_{g}(1)=\ell_{h}(1)$。另一方面，$\ell_{g}(1)=g \cdot 1=g$，类似地 $\ell_{h}(1)=h$。因此 $g=h$，并且 $f$ 是单射的。
这是凯莱定理证明的第三步，也是最后一步：验证同态 $f$ 是单射的。一个单射同态可以建立从定义域到一个子群的同构关系。
本段完成了凯莱定理证明的最后一步，即证明了同态 $f$ 是单射的。证明过程非常简洁：假设两个不同的元素 $g, h$ 经过 $f$ 映射后得到了相同的结果，即 $\ell_g = \ell_h$，这意味着这两个左乘函数是完全相同的。因此，它们在作用于单位元 $1$ 时也应产生相同的结果，即 $\ell_g(1)=\ell_h(1)$。而根据左乘和单位元的定义，这直接导出 $g=h$，与初始假设矛盾（除非本来就是同一个元素）。从而证明了 $f$ 是单射的。
本段的目的是为了确立群 $G$ 和它的像 $\operatorname{Im}(f)$ 之间的一一对应关系。一个同态保证了运算结构的保持，而一个单射保证了没有信息在映射过程中丢失（没有两个不同的元素被“压扁”成一个）。两者结合，一个单射同态就意味着定义域群和它在到达域中的像（一个子群）在结构上是完全一样的，即同构。这是凯莱定理的结论。
回到“操作员和一排小球”的模型。我们已经知道每个操作员 $g$ 对应一个置换 $\ell_g$。现在要证明，不同的操作员必然对应不同的置换。
假设操作员 $g$ 和操作员 $h$ 引起的置换是完全一样的（$\ell_g=\ell_h$）。这意味着，无论队伍原来是什么样子（任意 $x$），先由 $g$ 指挥重排，和先由 $h$ 指挥重排，得到的最终队列顺序是一模一样的。
那么我们来看最简单的情况：队伍里只有一个“单位元小球” $1$。操作员 $g$ 指挥它，它会变成 $g \cdot 1 = g$。操作员 $h$ 指挥它，它会变成 $h \cdot 1 = h$。既然两种指挥方式结果一样，那么 $g$ 就必然等于 $h$。
结论：不同的操作员，必然会引起不同的置换效果，哪怕只有极其微小的差别（比如只在对单位元的作用上不同）。
想象有两把不同的钥匙 $g$ 和 $h$。我们说这两把钥匙“功能完全相同”（$f(g)=f(h)$），意思是说，用它们去开同一系列的锁 $X$（群 $G$ 的元素），得到的结果（新状态）总是一样的。
证明过程说：我们不需要测试所有的锁。我们只需要测试一把最特殊的锁——“单位元锁” $1$。用钥匙 $g$ 去“开”这把锁，锁会变成“$g$”这个状态。用钥匙 $h$ 去“开”这把锁，锁会变成“$h$”这个状态。既然两把钥匙功能完全相同，那么开这把特殊锁的结果也必须相同，所以 $g$ 状态必须等于 $h$ 状态。结论就是，钥匙 $g$ 和 $h$ 本身就是同一把钥匙。
📜 [原文4]
备注 1.3.3. 除了左乘之外，我们还可以尝试使用右乘 $r_{g}: G \rightarrow G$，定义为 $r_{g}(x)=x g$。那么 $r_{g}$ 仍然是 $S_{G}$ 的一个元素。然而，由 $F(g)=r_{g}$ 定义的函数 $F: G \rightarrow S_{G}$ 通常不是一个同态！尽管如此，我们很容易理解 $F$ 为何不是同态，并修改 $F$ 的定义使其成为从 $G$ 到 $S_{G}$ 的同态。具体细节作为练习 4.9 留给读者。
凯莱定理的证明可能看起来像是障眼法。然而，我们将在后面看到这种证明方法的有趣变体。
这部分内容作为对凯莱定理证明的一个补充思考和延伸，探讨了使用右乘代替左乘会发生什么，并对证明方法的思想进行了评价。
本段备注指出了凯莱定理证明的一个变体：使用右乘 $r_g(x)=xg$ 代替左乘。直接将 $g$ 映射到 $r_g$ 会得到一个反同态，而不是同态（除非群是阿贝尔群），因为运算顺序会颠倒，即 $r_{gh} = r_h \circ r_g$。为了得到一个真正的同态，需要做一个修正，例如将 $g$ 映射到 $r_{g^{-1}}$。最后，本段评价说，这种“让群作用于自身”的证明方法虽然看似巧妙（障眼法），但其思想（群作用）是非常深刻和有用的，将在后续学习中反复出现。
本备注的存在是为了加深读者对同态定义和群公理（特别是结合律）如何相互作用的理解。通过展示一个“看似可行但实际有细微差别”的例子（右乘），它迫使我们更精确地思考同态、反同态和函数复合的顺序。同时，它也为后续更广义的“群作用”概念埋下伏笔，告诉我们凯莱定理的证明不是孤立的技巧，而是一个重要思想的开端。
想象给脚穿袜子和鞋子。
想象你在写一串字母。
📜 [原文5]
我们已经看到，对于每个 $n \in \mathbb{N}$，同态 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$ 是单射的。因此，给定一个有限群 $G$，根据凯莱定理存在一个从 $G$ 到 $S_{n}$ 的单射同态，并且存在一个单射同态 $P: S_{n} \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$。因此，对于某个 $n$，存在一个单射同态 $G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$。换句话说：
定理 1.3.4. 令 $G$ 为一个有限群。那么存在一个 $n \in \mathbb{N}$，使得 $G$ 同构于 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个子群。
这段话将凯莱定理的结论又向前推进了一大步，将抽象的有限群与具体的矩阵群联系起来。
示例：群 $G = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0, 1, 2\}$
本段通过串联两个已知的单射同态——凯莱定理提供的 $G \to S_{|G|}$ 和置换矩阵提供的 $S_{|G|} \to GL_{|G|}(\mathbb{R})$——构造出了一个新的从任意有限群 $G$ 到一般线性群 $GL_{|G|}(\mathbb{R})$ 的单射同态。这直接证明了定理 1.3.4：任何一个有限群，无论其定义多么抽象，本质上都可以看作（同构于）一个由可逆矩阵构成的子群。
本定理的目的是在抽象的群论和具体的、可计算的线性代数之间架起一座桥梁。它告诉我们，对有限群的研究可以转化为对矩阵群的研究。这使得我们可以运用线性代数的强大工具（如特征值、行列式、迹等）来分析和理解群的结构。这一定理是群表示论的入口，具有极其重要的意义。
凯莱定理说：“任何一个管理团队（群 $G$）的行为模式，都可以通过观察他们如何重新排列公司所有员工（集合 $G$）的座位表（置换群 $S_G$）来完全复制”。
本定理则进一步说：“任何一种座位表的重排方案（置换 $\sigma \in S_n$），都可以用一个矩阵（置换矩阵 $M_\sigma$）来精确描述。矩阵的乘法就对应着重排方案的先后叠加”。
结论：“任何一个管理团队（群 $G$）的行为模式，最终都可以转化为一组矩阵的乘法规则来完全复制”。抽象的组织规则被转化为了具体的数学计算。
想象你在用软件处理一张 $n$ 个像素点的图片。
📜 [原文6]
更一般地，一个同态 $f: G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{R})$，不一定是单射的，被称为 $G$ 的一个实表示。（在这里，研究同态 $f: G \rightarrow G L_{n}(\mathbb{C})$，它们被称为复表示或简称 $G$ 的表示，会更好。）表示论的目标是描述群 $G$ 的所有表示，并利用这种描述来理解 $G$ 的性质。
这段话是对定理 1.3.4 的一个概括和升华，引入了群表示论（Group Representation Theory）的基本概念。
本段将群同态的概念推广到了群表示，即任何一个从群 $G$ 到矩阵群 $GL_n(k)$（其中 $k$ 是一个域，如 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）的同态。这种表示不一定是单射的。本段还简要介绍了群表示论这一宏大学科的核心目标：分类所有表示，并利用这些表示来深入理解群的结构。同时，它指出了复表示（映射到 $GL_n(\mathbb{C})$）相比实表示在理论上的优越性。
本段的目的是为读者打开一扇通往群表示论的大门。在证明了任何有限群都可以被“忠实地”表示为矩阵群之后，一个自然的问题是：如果我们不要求“忠实”，而是允许任何同态，那会怎么样？这个问题引出了表示论。本段作为一个引子，激发读者思考群与线性代数之间更深层次的联系，为后续更高级的课程（如现代代数II或专门的表示论课程）进行铺垫。
如果把一个抽象的群 $G$ 看作一个复杂的人物。
想象一个群 $G$ 是一个复杂的音乐和弦。
本章引入了群论中一个至关重要的概念——陪集。陪集是对子群进行的一种划分，是构造商群的基础，也是拉格朗日定理的证明核心。
📜 [原文7]
2.1. 陪集的定义。我们的目标是推广群 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的构造。其思想是首先有一个群 $\mathbb{Z}$ 和子群 $n \mathbb{Z}=\langle n\rangle$，其中 $n \in \mathbb{N}$，然后构造一个集合 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，它最终也成为一个群（在加法下）。（在 $\mathbb{Z}$ 上有两种二元运算 + 和 •，但 $\mathbb{Z}$ 在加法下只是一个群。因此，我们也可以在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 上定义乘法的事实在这里不起作用，但其自然推广在现代代数 II 中非常重要。）我们希望将上述构造（从模 $n$ 同余开始）推广到一般的群 $G$（乘法表示）及其子群 $H$ 的情况。然而，如果 $G$ 不是阿贝尔群，我们必须非常小心。
这段话是引入陪集概念的动机和背景说明。
本段设定了本章的核心目标：将构造模 $n$ 整数群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的思想进行推广，以便能从任意一个群 $G$ 及其子群 $H$ 出发，构造一个新的集合 $G/H$，并探索使其成为一个群（即商群）的条件。本段通过回顾 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的构造过程，并指出从阿贝尔群推广到非阿贝尔群时需要特别小心，为引入陪集这一关键概念铺平了道路。
本段起到了承上启下的作用。它连接了学生已经熟知的具体例子（模运算和同余类），并指明了接下来要探索的抽象方向。通过明确“推广”这一目标，它为后续引入一系列新定义（如陪集、等价关系、正规子群）提供了清晰的动机和背景。
想象我们要用乐高积木搭建模型。
想象你在做除法。
📜 [原文8]
定义 2.1.1. 令 $G$ 为一个群，令 $H \leq G$。我们在 $G$ 上定义一个关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 如下：如果 $g_{1}, g_{2} \in G$，那么 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{2}(\bmod H)$ 当且仅当 $g_{1}^{-1} g_{2} \in H$，或者等价地，存在一个 $h \in H$ 使得 $g_{1}^{-1} g_{2}=h$，即 $g_{2}=g_{1} h$ 对于某个 $h \in H$。
这是定义陪集的第一步，即引入一个等价关系，这个等价关系将会把群 $G$ 分割成不相交的子集，这些子集就是陪集。
本段通过类比整数的同余关系，为任意群 $G$ 及其子群 $H$ 定义了一个名为“左同余”的关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$。其核心定义是 $g_1 \equiv_{\ell} g_2 \pmod H$ 当且仅当 $g_1^{-1}g_2 \in H$。这个定义等价于说，$g_2$ 可以通过 $g_1$ 右乘一个 $H$ 中的元素得到 ($g_2=g_1h$)。这个关系是后续将 $G$ 分割成陪集的基础。
为了将群 $G$ 分割成不相交的子集（即陪集），我们需要一个标准。这个标准就是等价关系。本段定义了这个关键的等价关系。只有建立了等价关系，才能讨论由它产生的等价类，而这些等价类正是我们想要的陪集。这是从目标（推广 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$）到实现（构造商群）的逻辑链条中必不可少的一环。
想象群 $G$ 是整个地球表面，而子群 $H$ 是一个特定的国家，比如瑞士。
想象你在一个巨大的方格纸（群 $G$）上移动。子群 $H$ 是一组特定的“合法移动步长”，比如只能“向右平移3格”或“向上平移5格”以及它们的组合。
📜 [原文9]
命题 2.1.2. 关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是一个等价关系。包含 $g$ 的等价类是集合
证明。对于所有 $g \in G, g^{-1} g=1 \in H$。因此 $g \equiv_{\ell} g(\bmod H)$ 并且 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是自反的。如果 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{2}(\bmod H)$，那么 $g_{1}^{-1} g_{2} \in H$。但是由于 $H$ 中元素的逆元也在 $H$ 中，所以 $\left(g_{1}^{-1} g_{2}\right)^{-1}=g_{2}^{-1}\left(g_{1}^{-1}\right)^{-1}=g_{2}^{-1} g_{1} \in H$。因此 $g_{2} \equiv_{\ell} g_{1}(\bmod H)$，从而 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是对称的。最后，如果 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{2}(\bmod H)$ 且 $g_{2} \equiv_{\ell} g_{3}(\bmod H)$，那么 $g_{1}^{-1} g_{2} \in H$ 且 $g_{2}^{-1} g_{3} \in H$。由于 $H$ 对乘积封闭，所以 $g_{1}^{-1} g_{2} g_{2}^{-1} g_{3}=g_{1}^{-1} g_{3} \in H$。因此 $g_{1} \equiv_{\ell} g_{3}(\bmod H)$，从而 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是传递的。因此 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是一个等价关系。（请注意我们如何精确地使用了子群的定义性质。）显然，包含 $g$ 的等价类就是上面定义的集合 $g H$。
这段话的核心是证明上一段定义的左同余关系确实是一个等价关系，并明确指出由这个等价关系产生的等价类是什么样子。
这个公式定义了一个由 $g$ 和 $H$ 决定的新集合。
本段严谨地证明了在群 $G$ 上定义的左同余关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 是一个等价关系。证明过程清晰地揭示了子群的三个基本性质（单位元、封闭性、逆元）是如何分别保证等价关系的三个条件（自反、传递、对称）成立的。最后，明确了由该等价关系所产生的、包含元素 $g$ 的等价类，正是集合 $gH=\{gh \mid h \in H\}$，即 $H$ 的左陪集。
本命题是陪集理论的基石。它赋予了陪集一个重要的身份：等价类。我们知道，一个集合上的任何等价关系都会导致该集合的一个划分（partition），即分解成一族不相交的、其并集为全集的子集。因此，本命题的直接推论就是：群 $G$ 可以被 $H$ 的所有左陪集完美地、不重不漏地完全覆盖。这是后续证明拉格朗日定理的关键所在。
如果说上一步是定义了“只差一段瑞士旅程”这个关系，那么这一步就是证明这个关系是“合理的”。
想象用不同颜色的贴纸给一大群人分组。关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 就是分组规则：“如果 A 能通过与一个 H 子群里的人合作来到达 B 的位置，那么 A 和 B 就是一伙的”。
📜 [原文10]
定义 2.1.3. 上面定义的集合 $g H$ 是包含 $g$ 的 $H$ 的左陪集。根据等价类的一般性质，$g \in g H$，并且两个左陪集 $g_{1} H$ 和 $g_{2} H$ 要么不相交，要么相等。请注意，子群 $H$ 本身就是一个陪集，因为对于每个 $h \in H$，都有 $H=1 \cdot H=h H$。它被称为单位陪集。所有左陪集的集合，即等价关系 $\equiv_{\ell}(\bmod H)$ 的所有等价类的集合，表示为 $G / H$。
这段话正式给出了左陪集的命名，并阐述了作为等价类，陪集所具有的基本性质，最后定义了所有左陪集构成的集合的记号。
本段为左陪集 ($gH$) 提供了正式定义，并阐明了其作为等价类的两个核心性质：代表元 $g$ 属于 $gH$，以及任意两个左陪集要么完全相同，要么毫无交集。这表明所有左陪集构成了对群 $G$ 的一个划分。本段还特别指出了子群 $H$ 本身就是单位陪集。最后，引入了记号 $G/H$ 来表示由所有不同的左陪集构成的集合。
本段的目的是清晰地定义研究对象（左陪集），并阐明其基本几何/集合属性（构成对群的划分）。这是理解拉格朗日定理的理论基础。拉格朗日定理的证明本质上就是一个简单的计数论证，而这个计数论证的前提就是群 $G$ 被陪集们完美地、不重不漏地分成了若干大小相等的小块。本段就确立了这个前提。
想象一个国家（群 $G$）被划分成了若干个省份（陪集）。
想象一幅完整的拼图（群 $G$）。子群 $H$ 决定了我们要用什么样的“模板”去切割这幅拼图。
📜 [原文11]
右陪集 $H g=\{h g: h \in H\}$ 类似地定义。它们是等价关系 $\equiv_{r}(\bmod H)$ 的等价关系，该关系定义为：$g_{1} \equiv_{r} g_{2}(\bmod H)$ 当且仅当 $g_{2} g_{1}^{-1} \in H$，或者等价地，存在一个 $h \in H$ 使得 $g_{2} g_{1}^{-1}=h$，即 $g_{2}=h g_{1}$ 对于某个 $h \in H$。等价关系 $\equiv_{r}(\bmod H)$ 的所有等价类的集合表示为 $H \backslash G$。左陪集和右陪集的性质之间存在自然的对称性。然而，习惯规定我们通常只看左陪集，除非另有说明，有时我们只用“陪集”来表示“左陪集”，必要时才使用“右陪集”。当然，如果 $G$ 是阿贝尔群，那么左陪集和右陪集之间没有区别。（从集合 $G / H$ 到集合 $H \backslash G$ 也有一个不那么明显的双射；这是练习 4.17。然而，正如我们将在下面看到的，通常集合 $G / H$ 和 $H \backslash G$ 是不同的。）
这段话引入了左陪集的“孪生兄弟”——右陪集，并阐明了两者之间的关系。
示例：群 $G=S_3$, 子群 $H = \{1, (12)\}$
我们已经计算过左陪集的集合 $G/H$ 是：
$G/H = \{ \{1, (12)\}, \{(13), (132)\}, \{(23), (123)\} \}$
现在我们来计算右陪集的集合 $H\backslash G$：
本段引入了右陪集 $Hg$ 的概念，它是右同余关系 $g_2g_1^{-1} \in H$ 所对应的等价类。在非阿贝尔群中，一个元素的左陪集 $gH$ 和右陪集 $Hg$ 通常是不同的集合。因此，所有左陪集构成的集合 $G/H$ 和所有右陪集构成的集合 $H\backslash G$ 通常也是不同的。尽管如此，两者的元素个数（指数）是相等的。按照惯例，除非特别指出，我们通常默认讨论左陪集。
引入右陪集的目的是为了形成对比，从而凸显出一个特殊性质的重要性：什么时候 $gH=Hg$ 对所有 $g$ 都成立？这个性质将是我们下一节定义正规子群的核心。只有当左右陪集一致时，我们才能在陪集的集合 $G/H$ 上定义一个良好、无歧义的群运算，从而成功构造商群。因此，区分左右陪集是为了最终找到不区分它们的情况。
回到“省份划分”模型。
想象你在一张纸上写字，子群 $H$ 代表“加粗”这个操作。
📜 [原文12]
示例 2.1.4. (1) 对于 $G=\mathbb{Z}$（在加法下）和 $H=\langle n\rangle=n \mathbb{Z}$，其中 $n \in \mathbb{N}$，我们恢复了 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。这里的陪集是 $\mathbb{Z}$ 的子集，形式为 $0+\langle n\rangle=[0]_{n}, \ldots$, $(n-1)+\langle n\rangle=[n-1]_{n}$。
(2) 对于任何 $G$，当 $H=G$ 时，对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G, g_{1} \equiv_{\ell} g_{2}(\bmod G)$，只有一个左陪集 $g G=G$ 对于所有 $g \in G$，并且 $G / G$ 是单元素集合 $\{G\}$。类似地，对于每个 $g \in G$，也只有一个右陪集 $G=G g$；特别是，右陪集的集合与左陪集的集合相同。对于平凡子群 $\{1\}$，$g_{1} \equiv_{\ell} g_{2}(\bmod \{1\}) \Longleftrightarrow g_{1}=g_{2}$，并且 $\{1\}$ 的左陪集的形式为 $g\{1\}=\{g\}$。因此 $G /\{1\}=\{\{g\}: g \in G\}$，即 $G$ 的 1 元素子集集合，因此存在从 $G /\{1\}$ 到 $G$ 的明显双射。由于 $\{1\} g=\{g\}$，每个右陪集又是一个左陪集，反之亦然。
(3) 在群 $S_{3}$ 中，取 $H$ 为子群
有两个左陪集：$A_{3}$ 和 $(1,2) A_{3}=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$。很容易看出这两个集合也是 $A_{3}$ 的右陪集。
(4) 再次考虑 $G=S_{3}$，如果我们将 $H$ 取为 2 元素子群 $\langle(1,2)\rangle= \{1,(1,2)\}$ 而不是 $A_{3}$，那么有三个左陪集：$\{1,(1,2)\},\{(1,2,3),(1,3)\}$ 和 $\{(1,3,2),(2,3)\}$，每个都有两个元素。因此 $S_{3}$ 被分成三个不相交的子集。我们也可以考虑 $\{1,(1,2)\}$ 的右陪集。有三个右陪集：$\{1,(1,2)\}$, $\{(1,2,3),(2,3)\}$ 和 $\{(1,3,2),(1,3)\}$。特别是，我们看到右陪集通常不等于左陪集。
(5) 为了推广上面 (3) 的第一部分，考虑 $G=S_{n}$ 和 $H=A_{n}$。我们关于 $A_{n}$ 的讨论表明，如果 $\tau$ 是任何奇置换，那么陪集 $\tau A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的奇置换子集。因此 $A_{n}$ 在 $S_{n}$ 中恰好有两个左陪集，即单位陪集 $A_{n}$（它是偶置换的子集）和集合 $\tau A_{n}$，其中 $\tau$ 是任何奇置换，它与奇置换的集合相同，因此等于 $S_{n}-A_{n}$。很容易看出 $S_{n}-A_{n}=A_{n} \tau$ 对于每个奇置换 $\tau$，因此在这种情况下右陪集与左陪集相同。
这一部分通过五个具体的例子，来帮助读者建立对陪集的直观理解。
(1) 整数群模 nZ
(2) 两个极端的子群：G 和 {1}
(3) S3 中的交错群 A3
(4) S3 中的二元子群 <(12)>
(5) Sn 中的交错群 An
本节通过五个典型例子，从不同角度展示了陪集的具体形态和性质。
这些例子的目的是将前面抽象的定义和命题具体化、形象化。通过亲手计算和观察这些例子，读者可以更深刻地理解：
这些具体的感性认识是掌握后续更抽象理论（如拉格朗日定理、正规子群和商群）不可或缺的基础。
想象你有一条彩色的绳子（群 $G$）。子群 $H$ 是一把剪刀和一把尺子。
📜 [原文13]
命题 2.1.5. 令 $G$ 为一个群，$H$ 为一个子群，且 $g \in G$。函数 $f(h)=g h$ 定义了一个从 $H$ 到 $g H$ 的双射。因此，如果 $g_{1} H$ 和 $g_{2} H$ 是两个陪集，那么存在一个从 $g_{1} H$ 到 $g_{2} H$ 的双射。最后，如果 $H$ 是有限的，那么每个左陪集 $g H$ 都是有限的，并且 $\#(g H)=\#(H)$。
证明。将 $f$ 定义如陈述中所述，显然 $f$ 根据定义是满射的，并且由于消去律，$f$ 是单射的，因为 $g h_{1}=g h_{2} \Longrightarrow h_{1}=h_{2}$。因此 $f$ 是一个双射。其余陈述是显而易见的。
这个命题及其证明揭示了陪集的一个根本性质：所有陪集的大小都和子群 $H$ 本身的大小完全一样。
本命题建立了一个关于陪集大小的基本事实：任何一个左陪集 $gH$ 的大小都与生成它的子群 $H$ 的大小完全相同。证明方法是构造了一个自然的双射 $f:H \to gH$ (即左乘 $g$)，并利用群的消去律证明了其单射性。这个结论是拉格朗日定理证明中的一个关键环节。
本命题的存在，是为了给拉格朗日定理的证明铺设最后一块基石。我们已经知道陪集构成了对群 $G$ 的一个划分（不重不漏地分割）。现在，这个命题又告诉我们，划分出的每一“块”（每个陪集）的大小都是完全一样的。有了这两个条件（“划分”和“每块大小相等”），我们就可以通过一个简单的乘法或除法来建立群 $G$ 的总大小、子群 $H$ 的大小和陪集数量之间的关系。
回到“用模板切割拼图”模型。
想象你有 $k$ 个一模一样的空蛋盒（$k$ 是陪集的数量），每个蛋盒能装 $m$ 个鸡蛋（$m=|H|$）。
📜 [原文14]
定义 2.1.6. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 为 $G$ 的一个子群。如果集合 $G / H$ 是有限的，那么我们称 $H$ 在 $G$ 中具有有限指数，并将 $\#(G / H)$ 的元素个数称为 $H$ 在 $G$ 中的指数。我们用 $(G: H)$ 表示 $\#(G / H)$。如果 $G / H$ 是无限的，那么我们称 $H$ 在 $G$ 中具有无限指数。
这个定义引入了一个重要的数字，用来衡量一个子群相对于整个群的“大小”或“比例”。
本段定义了子群 $H$ 在群 $G$ 中的指数 $(G:H)$，其数值就是由 $H$ 产生的不同（左或右）陪集的数量。这个数可以是有限的，也可以是无限的。指数是衡量子群相对于整个群“大小”的一个重要指标。
引入指数这个概念，是为了量化陪集划分的结果。我们不仅想知道 $G$ 可以被划分为陪集，我们还想知道它被划分成了“多少块”。这个“块数”就是指数。这个数值是拉格朗日定理方程 $\#(G) = (G:H) \#(H)$ 中的一个关键组成部分。
回到“省份划分”模型。
回到“蛋盒”模型。
📜 [原文15]
示例 2.1.7. (i) 对于 $n \in \mathbb{N}$，指数 $(\mathbb{Z}: n \mathbb{Z})$ 是 $n$，尽管 $\mathbb{Z}$ 和 $n \mathbb{Z}$ 都是无限的。另一方面，$\{0\}$ 在 $\mathbb{Z}$ 中具有无限指数。
(ii) 线性代数中出现的许多子群都具有无限指数。例如，$S L_{n}(\mathbb{R})$ 在 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 中具有无限指数，$O_{n}$ 在 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 中具有无限指数，而 $S O_{n}$ 在 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 中具有无限指数。另一方面，$S O_{n}$ 在 $O_{n}$ 中具有指数二：给定 $A, B \in O_{n}, \operatorname{det} A= \pm 1$ 且 $\operatorname{det} B= \pm 1$。因此 $A^{-1} B \in S O_{n} \Longleftrightarrow \operatorname{det} A=\operatorname{det} B$。如果 $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=1, A, B \in S O_{n}$。如果 $\operatorname{det} A=\operatorname{det} B=-1, A, B \in O_{n}-S O_{n}$。因此恰好有两个左陪集，$S O_{n}$ 和 $O_{n}-S O_{n}$。
(iii) 群 $D_{n}$ 具有一个阶为 $n$ 的循环子群。在练习 1.28 的记号中，旋转子群 $\left\langle A_{2 \pi / n}\right\rangle$ 的阶为 $n$。通过类似于 (ii) 中的论证，$\left\langle A_{2 \pi / n}\right\rangle$ 有两个左陪集：$\left\langle A_{2 \pi / n}\right\rangle=\left\{A_{2 \pi a / n}: 0 \leq a \leq n-1\right\}$ 和 $\left\{B_{2 \pi a / n}: 0 \leq a \leq n-1\right\}=B_{0}\left\langle A_{2 \pi / n}\right\rangle= \left\langle A_{2 \pi / n}\right\rangle B_{0}$。这里，每个左陪集也是一个右陪集。
这一节通过三个来源（数论、线性代数、几何）的例子，进一步巩固对指数概念的理解。
(i) 来自数论的例子
(ii) 来自线性代数的例子
(iii) 来自几何的例子 (二面体群)
本节通过一系列具体的例子，展示了指数概念在不同数学分支中的体现。
这些例子，特别是指数为2的情况，反复出现，暗示了其重要性。
这些例子的目的是为了拓宽读者对指数概念的应用范围的认识，表明它不是一个只存在于有限群或整数群中的狭隘概念，而是一个在线性代数、几何等领域都扮演重要角色的普适工具。通过这些例子，读者可以对指数的计算和判断建立更强的直觉。
想象一个图书馆里所有的书（群 $G$）。
本节将介绍群论中最基本也是最重要的定理之一——拉格朗日定理。该定理基于陪集的性质，给出了有限群的阶、其子群的阶以及指数之间的简单数值关系。
📜 [原文16]
2.2. 拉格朗日定理及其一些推论。显然，如果 $G$ 是有限的，那么每个子群 $H$ 都具有有限指数。$G$ 的每个元素恰好在一个左陪集 $g H$ 中。有 $(G: H)$ 个左陪集 $g H$，每个都恰好有 $\#(H)$ 个元素。将所有左陪集中的所有元素相加必须得到 $G$ 的元素个数。因此：
命题 2.2.1. 令 $G$ 为一个有限群，令 $H$ 为 $G$ 的一个子群。那么
换句话说，指数 $(G: H)$ 满足：
这段话通过一个非常直观的计数论证，导出了拉格朗日定理的核心方程。
本段基于陪集构成对有限群 $G$ 的等大小划分这一事实，通过简单的计数论证，建立了群的阶 $\#(G)$、子群的阶 $\#(H)$ 和指数 $(G:H)$ 之间的基本关系：$\#(G) = (G:H) \cdot \#(H)$。这个关系是拉格朗日定理的直接前奏。
本命题的目的是将陪集的几何/集合性质（划分）转化为一个具体的、可计算的代数方程。这个方程非常强大，它将三个重要的群论量联系在一起，使得我们可以知二求一。它是从抽象的陪集概念到具体的数值结论的桥梁，为后续一系列深刻推论的诞生奠定了数学基础。
拉格朗日定理的核心方程就是小学水平的乘法问题。
想象用一个能铺满地面的正方形瓷砖（子群 $H$）来铺一个大的矩形房间（群 $G$）。
📜 [原文17]
这个非常简单的计数论证有大量的重要推论：
推论 2.2.2 (拉格朗日定理). 令 $G$ 为一个有限群，令 $H$ 为 $G$ 的一个子群。那么 $\#(H)$ 整除 $\#(G)$。
这是拉格朗日定理最核心、最广为人知的表述。
拉格朗日定理是命题 2.2.1 的一个直接推论，它指出在一个有限群中，任何子群的阶都必须是整个群的阶的一个因数。这是一个 foundational theorem of finite group theory，对有限群的可能结构给出了强有力的限制。
本定理的目的是提供一个分析有限群结构的根本大法。它是无数其他定理和推论的基石。通过简单地考察一个有限群的阶的因数，我们就可以极大地缩小其子群结构的可能性，使得对具体有限群的分类和研究成为可能。
拉格朗日定理说：你不可能用“3人小组”的模式，来完美地、不重不漏地组织一个10人的团队。因为10不能被3整除，如果你非要按3人一组分，最后总会剩下1个人，或者某个组不完整。
一个有限群能被一个子群“整除”，意味着这个群可以被这个子群的“复制品”（陪集）完美地、无缝地填满。如果阶不能整除，就意味着这种完美的填充是不可能的。
你不能用边长为3米的正方形地砖，去铺满一个长为10米、宽为10米的房间，而不切割任何一块地砖。因为10不能被3整除。
拉格朗日定理在群论中的地位，就如同“面积必须能被地砖面积整除”在铺地砖问题中的地位一样，是一个基本的、不可违背的限制。
📜 [原文18]
备注 2.2.3. 我们已经看到拉格朗日定理适用于循环群 $G$，事实上，如果 $G$ 是阶为 $n$ 的循环群，那么对于 $n$ 的每个除数 $d$，都存在一个阶为 $n$ 的子群 $H$，实际上只有一个这样的子群。事实上，这个性质刻画了有限循环群：参见定理 2.2.11。然而，“拉格朗日定理的逆定理”对于一般的有限群是不成立的，即存在有限群 $G$ 和 $\#(G)$ 的除数 $d$，使得不存在阶为 $d$ 的子群 $H$。最小的例子是群 $A_{4}$，阶为 12。可以证明 $A_{4}$ 不存在阶为 6 的子群（尽管它确实有阶为 $1,2,3,4,12$ 的子群）。此外，一个非循环群可以有多个给定阶的子群。例如，克莱因四元群 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$ 有三个阶为 2 的子群，$S_{3}$ 也有。
这个备注是对拉格朗日定理的一个关键补充说明，主要阐述了三点：循环群的特殊性、逆定理的失效，以及子群的唯一性问题。
本备注澄清了拉格朗-日定理的适用边界和推论。它强调了三点：
本备注的目的是防止学习者对拉格朗日定理产生错误的过度推断。通过明确指出逆定理的失效，并给出经典反例 $A_4$，它加深了我们对有限群结构复杂性的认识。它告诉我们，拉格朗日定理只是一个“必要条件”（有子群必整除），而非“充分条件”（整除未必有子群）。这为后续引入更强大的工具（如西罗定理，它部分地回答了逆定理的问题）埋下了伏笔。
📜 [原文19]
推论 2.2.4. 令 $G$ 为一个有限群，令 $g \in G$。那么 $g$ 的阶整除 $\#(G)$。
证明。这由拉格朗日定理应用于子群 $\langle g\rangle$ 得到，注意到 $g$ 的阶等于 $\#(\langle g\rangle)$。
这是拉格朗日定理的第一个直接且非常重要的推论，它将定理从关于子群的陈述，具体到了关于单个元素的陈述。
本推论是拉格朗日定理的应用，它指出有限群中任何一个元素的阶，都必然是该群总阶数的一个因数。证明思路是：任何元素 $g$ 都会生成一个循环子群 $\langle g \rangle$，该子群的阶就等于 $g$ 的阶。根据拉格朗日定理，这个子群的阶必须整除群的阶，因此 $g$ 的阶也必须整除群的阶。
本推论将拉格朗日定理的宏观约束（对子群）细化到了微观层面（对元素）。它为我们判断一个有限群中可能存在哪些阶的元素提供了一个非常简单而强大的工具。这在数论（如费马小定理的证明）和群结构分析中都有着广泛的应用。
想象一个由齿轮组成的钟表机构（有限群 $G$）。
想象你在一个圆形的跑道（循环子群 $\langle g \rangle$）上跑步，跑道位于一个巨大的运动场（群 $G$）内。
📜 [原文20]
推论 2.2.5. 令 $G$ 为一个阶为 $N$ 的有限群，令 $g \in G$。那么 $g^{N}=1$。
证明。根据上述推论可知，因为 $g$ 的阶整除 $N$。
这是推论 2.2.4 的一个直接结果，给出了一个对所有元素都适用的统一方程。
本推论指出，在一个阶为 $N$ 的有限群中，任何元素自乘 $N$ 次的结果都等于单位元。这是拉格朗日定理关于元素阶推论的直接应用，即 $ord(g) | N \implies g^N = (g^{ord(g)})^{N/ord(g)} = 1^{N/ord(g)} = 1$。
本推论的目的是提供一个关于有限群元素的统一的、代数上的恒等式。这个恒等式在数论中极其有用，例如，它是证明费马小定理和欧拉定理的群论基础。它将一个抽象的整除关系（$ord(g)|N$）转化为了一个具体的方程（$g^N=1$），使得代数演算成为可能。
回到钟表模型。
想象你在参加一个重复性的活动，比如一个为期 30 天的夏令营 ($N=30$)。
📜 [原文21]
推论 2.2.6. 令 $G$ 为一个阶为素数 $p$ 的有限群。那么 $G$ 是循环的，因此 $G \cong \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$。
这是拉格朗日定理一个非常优美且深刻的推论，它为所有素数阶的群给出了完整的分类。
本推论是拉格朗日定理威力的一个惊人展示。它指出，任何一个阶为素数 $p$ 的群，其结构都是极其简单的：它必然是一个循环群，并且所有阶为 $p$ 的群在结构上都是一样的（同构于 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$）。这个结论极大地简化了对素数阶群的分类问题——答案只有一个。
本推论的目的是展示拉格朗日定理如何能直接导出一个完整的群分类结果。在群论中，一个核心任务就是对群进行分类（比如，给定一个阶数 $N$，找出所有不同构的 $N$ 阶群）。这个推论完美地解决了所有 $N$ 为素数的情况，是分类理论的第一个辉煌成果。
一个素数阶群就像一个只有一圈跑道的圆形体育场。
必须能够整除跑道的总长度 $p$。
想象一个由素数 $p$ 个珠子串成的项链。
📜 [原文22]
推论 2.2.7 (费马小定理). 令 $p$ 为一个素数，令 $a \in \mathbb{Z}$。那么 $a^{p} \equiv a(\bmod p)$。
证明。首先假设 $p$ 不整除 $a$。那么 $a$ 定义了 $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{*}$ 中的一个元素，也表示为 $a$。由于 $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{*}$ 的阶是 $p-1$，因此 $a^{p-1}=1$ 在 $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{*}$ 中。将 $a$ 视为一个整数，这意味着 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$，两边乘以 $a$ 得到 $a^{p} \equiv a(\bmod p)$。剩下的情况是 $p$ 整除 $a$，但此时 $a^{p}$ 和 $a$ 都 $\equiv 0(\bmod p)$，所以等式也成立。
这个推论展示了如何将抽象的群论结果（推论 2.2.5）应用到具体的数论问题上，从而得到一个经典的数论定理——费马小定理。
本推论展示了抽象群论在数论中的一个经典应用。通过将模 $p$ 的非零剩余类看作一个阶为 $p-1$ 的乘法群，并应用“元素阶的 $N$ 次幂等于单位元”这一群论结论，我们直接导出了数论中的费马小定理。
本推论的目的是展示群论作为一种“高级语言”和“通用工具”的威力。许多在特定领域（如数论）看起来需要巧妙构造的定理，在群论的视角下，可能只是某个一般性定理的自然推论。这体现了数学中从具体到抽象，再用抽象理论指导具体问题的思想威力。它也为后续要讲的欧拉定理（费马小定理的推广）做了铺垫。
想象一个有 $p-1$ 个座位的旋转木马（群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$）。
想象你在玩一个素数 $p$ 格的跳棋游戏。
📜 [原文23]
推论 2.2.8 (欧拉推广的费马小定理). 令 $n \in \mathbb{N}$ 且 $a \in \mathbb{Z}, \operatorname{gcd}(a, n)=1$。那么，如果 $\phi$ 是欧拉 $\phi$ 函数，$a^{\phi(n)} \equiv 1(\bmod n)$。
证明。证明类似于前一个证明，将 $a$ 视为 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 的一个元素，并使用 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$ 的阶是 $\phi(n)$ 这一事实。
这个推论是费马小定理的直接推广，将模数从素数 $p$ 推广到了任意正整数 $n$。证明思路与上一个推论完全平行。
本推论是拉格朗日定理在数论中的又一个重要应用。它将费马小定理从素数模推广到任意整数模。证明的核心思想是完全一致的：将问题转化为对模n既约剩余类群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ 的研究，该群的阶恰好是 $\phi(n)$，然后应用群论的普适结论 $g^{|G|}=1$ 即可。
本推论展示了群论思想的普适性和推广能力。通过将研究对象从“模p非零元素”抽象为“模n可逆元素”，群论提供了一个统一的框架，使得费马小定理可以被自然地推广为欧拉定理。这在密码学（如RSA算法）等领域有极其重要的应用。
欧拉定理是旋转木马模型的推广。
想象一个由 $n$ 个灯泡组成的圆环，编号 $0, 1, ..., n-1$。
📜 [原文24]
我们记录指数的一个有用的数值性质：
引理 2.2.9. 令 $G$ 为一个有限群，令 $H, K$ 为 $G$ 的两个子群且 $K \leq H$。那么指数是乘积的，即
证明。这由命题 2.2.1 得到：
如果 $G$ 是无限的，该引理仍然成立，其含义是如果公式中的任意两项是有限的，那么第三项也是有限的，并且等式成立。证明会稍微复杂一些。
这个引理（也常被称为塔律 Tower Law）描述了在一个子群链中，指数如何像分数一样可以“约分”。
这个公式看起来就像分数的约分：$\frac{G}{K} = \frac{G}{H} \cdot \frac{H}{K}$。
本引理（塔律）揭示了在子群链 $K \leq H \leq G$ 中，指数具有传递性的乘法关系：$(G:K) = (G:H)(H:K)$。对于有限群，这个结论可以由拉格朗日定理的数值公式直接导出。这个性质对于计算复杂的指数关系非常有用。
本引理的目的是提供一个计算和推导指数的有力工具。它使得我们可以将一个大的指数 $(G:K)$ 分解成两个更小的、可能更容易计算的指数 $(G:H)$ 和 $(H:K)$ 的乘积。这在处理多层子群结构时尤其有用，是群论中进行数值计算和结构分析的基本技巧之一。
塔律就是“大单位换算”。
想象一个三层楼的公寓楼。
📜 [原文25]
作为拉格朗日定理的最终应用，我们证明以下定理，这是证明原根存在性的群论基础：
定理 2.2.10. 令 $G$ 为一个有限群（不一定假定为阿贝尔群）。假设对于每个正整数 $d$，
换句话说，对于每个 $d \in \mathbb{N}$，方程 $g^{d}=1$ 最多有 $d$ 个解。那么 $G$ 是循环的。
证明。令 $\#(G)=n$。我们必须证明存在一个阶为 $n$ 的元素。更一般地，定义一个函数 $\psi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ 为：
因此 $\psi(d)$ 是 $G$ 中阶恰好为 $d$ 的元素的个数。注意 $\psi(d) \geq 0$ 且 $\psi(d)=0$ 当且仅当 $G$ 中没有阶为 $d$ 的元素。我们的目标是证明 $\psi(n) \neq 0$。根据拉格朗日定理，如果 $d$ 不整除 $n$，那么 $\psi(d)=0$（这是我们唯一使用拉格朗-日定理的地方）。
现在假设 $\psi(d) \neq 0$。那么存在一个阶为 $d$ 的元素 $h \in G$。因此 $\#(\langle h\rangle)=d$。根据我们对 $G$ 的假设，最多有 $d$ 个 $G$ 中的元素 $g$ 使得 $g^{d}=1$。由于 $\langle h\rangle$ 的每个元素 $g$ 都满足 $g^{d}=1, g^{d}=1 \Longleftrightarrow g \in\langle h\rangle$。因此，如果 $g$ 的阶恰好为 $d$，那么 $g$ 是 $\langle h\rangle$ 的一个生成元。根据我们对循环群的研究，$\langle h\rangle$ 恰好有 $\phi(d)$ 个生成元。总结：
特别是，我们看到 $\psi(d) \leq \phi(d)$。现在 $G$ 的每个元素都有某个有限阶 $d$，所以 $\#(G)=\sum_{d \in \mathbb{N}} \psi(d)$。那么
此外，这意味着对于每个 $d \mid n$，$\psi(d) \leq \phi(d)$ 必须是等式，否则我们将得到 $n<n$。因此，特别是 $\psi(n)=\phi(n)$，但 $\phi(n) \neq 0$。因此 $\psi(n) \neq 0$，所以存在一个阶为 $n$ 的元素 $G$，并且 $G$ 是循环的。
这个定理提供了一个不寻常但非常强大的判据来确定一个有限群是否是循环群。
示例：一个阶为 6 的群 $G$，且满足 $x^d=1$ 最多有 $d$ 个解。
本定理提供了一个通过检查群中方程解的数量来判断其是否循环的准则。证明过程非常精妙，它定义了一个计数函数 $\psi(d)$（阶为 $d$ 的元素个数），利用拉格朗日定理和定理本身的假设证明了 $\psi(d) \leq \phi(d)$，再结合数论恒等式 $\sum_{d|n}\phi(d)=n$ 和总数约束 $\sum_{d|n}\psi(d)=n$，通过一个“夹逼”论证，得出 $\psi(d)=\phi(d)$ 对所有 $d|n$ 都成立。特别地，$\psi(n)=\phi(n) > 0$，证明了群中存在阶为 $n$ 的元素，因此群是循环的。
本定理是一个深刻的结构性定理。它在理论上的主要用途是作为证明“有限域的乘法群是循环群”这一核心结论的群论基础，而后者又是数论中“原根”概念的推广。它展示了数论、群论和域论（通过多项式根的个数）之间的深刻联系。
想象一个公司有 $n$ 个员工。公司有一个规定：“任何一个‘任期为d天’的项目，参与该项目的人数不能超过d人”。
想象一个音乐厅里有 $n$ 种乐器。规定：“任何一首时长为 $d$ 拍的曲子，最多只能由 $d$ 种乐器合奏”。
📜 [原文26]
一个非常相似的论证表明：
定理 2.2.11. 令 $G$ 为一个有限群（不一定假定为阿贝尔群）。假设对于每个正整数 $d$，至多只有一个阶为 $d$ 的子群。那么 $G$ 是循环的。
我们将其证明作为练习 4.18 留给读者。
这个定理提供了另一个判断有限群是否为循环群的充分条件。
本定理给出了判断有限群是否为循环群的另一个充分条件：如果对于该群阶的任何一个因数 $d$，阶为 $d$ 的子群最多只有一个，那么这个群必定是循环群。证明思路与定理 2.2.10 高度相似，都是通过计数论证来证明群中必然存在一个与群同阶的元素。
本定理的目的是从另一个角度（子群的唯一性）来刻画有限循环群。它与定理 2.2.10 一起，提供了两种不直接依赖于寻找生成元的方式来判定一个群的循环性。这两个定理都揭示了循环群在结构上的“简单性”和“规律性”——它的元素阶分布和子群结构都受到非常严格的限制。
一个公司，如果它满足“任何一个特定规模（比如3人）的项目组，如果存在，那它的构成必须是独一无二的，不允许有第二个同样规模但人不同的项目组”，那么这个公司一定是一个高度集权的、“循环”式管理的公司。这意味着，公司里必然有一个“元老”，所有其他员工和项目组都可以看作是这位元老在不同阶段派生出来的。
一个拼图游戏。如果对于任何一个给定的碎块数量 $d$，你最多只能找到一种由 $d$ 个基本块组成的“标准组件”，那么这个拼图游戏本身一定是一个非常简单的、线性的或环形的“循环”拼图。如果它是一个复杂的、非循环的拼图（如 $S_3$），你很可能会发现可以用两种不同的方式，组合出两个都由2个基本块构成的、但形状不同的“组件”（比如 $S_3$ 中多个不同的2阶子群）。
本节是群论的一个核心转折点。我们之前构造了陪集的集合 $G/H$，现在我们想在这个集合上定义群运算，使其成为一个商群。本节将揭示，这并非总是可行，它要求子群 $H$ 满足一个特殊的条件，即成为一个正规子群。
📜 [原文27]
2.3. 正规子群。我们现在希望在左陪集集合 $G / H$ 上找到一个二元运算，类似于我们在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中能够进行陪集加法的方式。当然，对于一个乘法群 $G$，我们将希望陪集相乘，而不是相加。然而，正如我们将在下面看到的，如果 $G$ 不是阿贝尔群，这并非总是可能的。通常，给定两个陪集 $a H$ 和 $b H$，只有一种合理的方式来定义乘积 $(a H)(b H)$：它应该是陪集 $(a b) H$。换句话说，我们选择陪集 $a H$ 和 $b H$ 的代表元 $a \in a H$ 和 $b \in b H$，并通过将代表元 $a$ 和 $b$ 相乘并取包含乘积 $a b$ 的唯一陪集 $(a b) H$ 来相乘陪集 $a H$ 和 $b H$。如同处理等价类一样，我们必须检查这个过程是否良定义，换句话说，改变代表元的选择不会改变最终的陪集。正如我们将在下面看到的，这会对子群 $H$ 施加一个条件。
为了分析这个条件，假设我们从陪集 $a H$ 和 $b H$ 中选择了不同的代表元，它们必然是 $a h_{1}$ 和 $b h_{2}$ 的形式。乘积 $\left(a h_{1}\right)\left(b h_{2}\right)$ 位于与 $a b$ 相同的左陪集中的条件就是存在一个 $h_{3} \in H$ 使得 $\left(a h_{1}\right)\left(b h_{2}\right)=a b h_{3}$。所以这就是陪集乘法良定义的条件：对于所有 $a, b \in G$ 和对于所有 $h_{1}, h_{2} \in H$，存在一个 $h_{3} \in H$ 使得
当然，我们可以消去前面的 $a$，并通过乘以 $h_{2}^{-1}$ 将 $h_{2}$ 移到右侧，得到 $h_{1} b=b h_{3} h_{2}^{-1}$。由于我们只要求 $h_{3}$ 是 $H$ 的某个元素，因此 $h_{3} h_{2}^{-1}$ 也是 $H$ 的某个元素，我们看到陪集乘法是良定义的 当且仅当 对于所有 $b \in G$ 和对于所有 $h_{1} \in H$，存在一个 $h^{\prime} \in H$ 使得 $h_{1} b=b h^{\prime}$。$b \in G$ 和 $h_{1} \in H$ 的命名并不是最优的，因为它们旨在是任意的，所以我们将其写成如下：
这段话详细地阐述了在陪集集合 $G/H$ 上定义运算的自然想法，以及这个想法面临的核心挑战——良定义 (well-defined) 问题。
（若本段含公式）]
示例：$G=S_3, H=\{1,(12)\}$，检验良定义性
本段提出了在陪集集合 $G/H$ 上定义群运算的自然方式 $(aH)(bH)=(ab)H$，并立即指出了其核心障碍：良定义问题。通过分析，得出了陪集乘法是良定义的当且仅当子群 $H$ 满足一个关键属性：对于任意 $g \in G, h \in H$，都能在 $H$ 中找到另一个元素 $h'$ 使得 $hg = gh'$。这个属性是接下来定义正规子群的基础。
本段的目的是揭示从陪集集合到商群的构造过程中所遇到的第一个，也是最根本的困难。通过对良定义性进行抽丝剥茧的分析，自然而然地引出了一个对子群 $H$ 的特殊要求。这使得后续引入“正规子群”这一概念不再是凭空出现，而是为了解决一个实际问题所必须满足的条件。
[直觉心-智模型]
你想定义“两个家庭（陪集）的联姻”。
你正在玩一套“化学反应”卡牌。
📜 [原文28]
命题 2.3.1. 陪集乘法在左陪集集合 $G / H$ 上是良定义的 当且仅当 对于所有 $g \in G$ 和所有 $h \in H$，存在一个 $h^{\prime} \in H$ 使得 $h g=g h^{\prime}$。
还有许多更具启发性的方法来重写这个条件。显然，集合 $\{h g: h \in H\}$ 只是右陪集 $Hg$。因此，这个命题可以更简单地重写为：
命题 2.3.2. 陪集乘法在左陪集集合 $G / H$ 上是良定义的 当且仅当 对于所有 $g \in G$，右陪集 $H g$ 包含在左陪集 $g H$ 中。
这两段话将上一段推导出的抽象代数条件，翻译成了一个更直观的、关于集合的几何条件。
命题 2.3.1 的回顾
从代数条件到集合条件的转换 (命题 2.3.2)
示例：$G=S_3, H=\{1,(12)\}$，再次检验
本段将陪集乘法良定义的条件从一个涉及元素的代数方程，转化为了一个关于集合的几何关系。命题 2.3.1 给出了代数条件（$\forall g,h, \exists h', hg=gh'$），而命题 2.3.2 将其等价地表述为几何条件（$\forall g, Hg \subseteq gH$），即任何一个右陪集都必须是对应的左陪集的一个子集。这个几何表述更加直观，为后续引出“左右陪集相等”这一最终条件铺平了道路。
本段的目的是为了让良定义条件变得更“好懂”、“好用”。代数条件 $hg=gh'$ 需要对所有元素进行检验，比较抽象。而集合包含关系 $Hg \subseteq gH$ 更具几何直观，我们可以通过直接计算两个集合来检验。这种从代数到几何的视角转换为我们理解这个条件提供了新的思路，并使其更容易被推广和应用。
想象你在地图上画区域。
📜 [原文29]
上面的重新措辞在左和右方面仍然看起来有些不对称。这里的技巧是注意到，如果包含关系 $H g \subseteq g H$ 对所有 $g \in G$ 都成立，那么它对 $g^{-1}$ 也成立。但是包含关系 $H g^{-1} \subseteq g^{-1} H$ 表示，对于所有 $h \in H$，存在一个 $h^{\prime} \in H$ 使得 $h g^{-1}=g^{-1} h^{\prime}$，因此 $g h=h^{\prime} g$。这表明左陪集 $g H$ 包含在右陪集 $H g$ 中。因此，如果 $H g \subseteq g H$ 对所有 $g \in G$ 都成立，那么 $g H \subseteq H g$ 对所有 $g \in G$ 也成立，因此 $H g=g H$。当然，对称论证表明，如果左陪集 $g H$ 包含在右陪集 $H g$ 中对所有 $g \in G$ 都成立，那么 $H g=g H$。我们看到我们已经证明了：
命题 2.3.3. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 为一个子群。那么以下是等价的：
(i) 陪集乘法在左陪集集合 $G / H$ 上是良定义的。
(ii) 对于所有 $g \in G$，右陪集 $H g$ 包含在左陪集 $g H$ 中。
(iii) 对于所有 $g \in G$，左陪集 $g H$ 包含在右陪集 $H g$ 中。
(iv) 对于所有 $g \in G, g H=H g$，即每个左陪集 $g H$ 也是一个右陪集，并且由于 $g \in g H$，必然等于 $H g$。
这段话进行了一个非常巧妙的论证，最终将良定义的条件简化成了一个完全对称且极其重要的形式：$gH = Hg$。
示例 1：$G=S_3, H=A_3=\{1,(123),(132)\}$
示例 2：$G=S_3, H=\{1,(12)\}$ (反例)
本段通过一个巧妙的对称性论证，将陪集乘法良定义的条件最终确立为一个简洁、对称且直观的形式：对于所有 $g \in G$，左陪集 $gH$ 必须等于右陪集 $Hg$。命题 2.3.3 总结了从良定义到不同形式的包含关系，再到最终的集合相等，这几个条件是完全等价的。这个 $gH=Hg$ 的性质，就是我们下一节要定义的正规子群的核心特征。
本段的目的是为“正规子群”这个核心概念的登场做好最后的铺垫。通过一系列等价转换，它告诉我们，所有那些看起来复杂、不对称的良定义条件，最终都归结为一个非常自然和优美的要求：子群 $H$ 对于群中任何元素的“左作用”和“右作用”的效果应该是一样的。这个性质如此重要，以至于值得我们为满足它的子群起一个专门的名字。
想象一个滤镜 $H$（比如“模糊”）和一个几何变换 $g$（比如“旋转90度”）。
📜 [原文30]
重做这些条件通常很有用。显然，对于所有 $g \in G$ 和所有 $h \in H$，存在一个 $h^{\prime} \in H$ 使得 $h g=g h^{\prime}$ 的条件与对于所有 $g \in G$ 和所有 $h \in H, g^{-1} h g=h^{\prime}$ 是 $H$ 的某个元素的条件是相同的。将 $g^{-1} H g$ 表示为集合 $\left\{g^{-1} h g: h \in H\right\}$。那么我们有以下命题：
命题 2.3.4. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 为一个子群。那么以下是等价的：
(i) 陪集乘法在左陪集集合 $G / H$ 上是良定义的。
(ii) 对于所有 $g \in G, g^{-1} H g \subseteq H$。
(iii) 对于所有 $g \in G, g^{-1} H g=H$。
证明。我们已经看到 (i) 和 (ii) 是等价的，显然 (iii) $\Longrightarrow$ (ii)。为了证明 (ii) $\Longrightarrow$ (iii)，我们使用替换 $g$ 为 $g^{-1}$ 的先前技巧：如果 $\left(g^{-1}\right)^{-1} H g^{-1}=g H g^{-1} \subseteq H$，那么对于所有 $h \in H$，存在一个 $h^{\prime}$ 使得 $g h g^{-1}=h^{\prime}$，从而 $h=g^{-1} h^{\prime} g$。这表明 $H \subseteq g^{-1} H g$，因此 $H=g^{-1} H g$。因此 (ii) $\Longrightarrow$ (iii)，所以 (ii) 和 (iii) 是等价的。
这段话提供了判断良定义性的又一个等价视角，即共轭 (conjugation) 的视角。这个视角在群论中极为重要。
示例 1：$G=S_3, H=A_3$
示例 2：$G=S_3, H=\{1,(12)\}$ (反例)
本段引入了判断陪集乘法良定义性的第三个、也是最重要的等价条件：共轭不变性。命题 2.3.4 确立了良定义性与子群 $H$ 在任意共轭作用下保持不变（即 $g^{-1}Hg = H$ 对所有 $g \in G$ 成立）是等价的。这个共轭形式的条件非常强大，是定义正规子群的标准形式。
本段的目的是将良定义问题与群的核心作用——共轭作用——联系起来。共轭反映了群的“非交换”程度，以及元素在不同“视角”下的表现。将良定义条件归结为共轭不变性，揭示了这个问题的本质：只有那些在群的内部对称性（由共轭体现）下保持稳定的子群，才能被用来构造行为良好的商群。这个视角是通往更高级群论（如共轭类、类方程）的门户。
想象一个完美的球体 $H$ 放在一个空间 $G$ 里。
📜 [原文31]
备注 2.3.5. 替换 $g$ 为 $g^{-1}$，我们通常将上面的 (ii) 替换为对于所有 $g \in G, g H g^{-1} \subseteq H$ 的条件，将 (iii) 替换为对于所有 $g \in G, g H g^{-1}=H$ 的条件。
备注 2.3.6. 定义一个函数 $i_{g}: G \rightarrow G$ 为 $i_{g}(x)=g x g^{-1}$。那么 $i_{g}$ 是 $G$ 的一个自同构（即从 $G$ 到自身的同构），因此 $i_{g}(H)=g H g^{-1}$ 是 $G$ 的一个子群。那么前一个命题的条件 (iii) 是对于所有 $g \in G, i_{g}(H)=H$。
这两条备注是对共轭条件写法的进一步说明和阐释。
备注 2.3.5：$g^{-1}Hg$ vs. $gHg^{-1}$
备注 2.3.6：内自同构视角
$\forall g \in G, i_g(H) = H$。
示例：$G=S_3, H=\{1,(12)\}, g=(13)$
这两条备注提供了理解正规子群条件的两种补充视角。备注 2.3.5 指出共轭条件的两种写法 $g^{-1}Hg=H$ 和 $gHg^{-1}=H$ 是等价的。备注 2.3.6 则将共轭作用 $x \mapsto gxg^{-1}$ 提升到了内自同构 $i_g$ 的高度，从而将正规子群的条件解读为“在所有内自同构下保持不变的子群”。这个视角更具结构性和普遍性。
这两条备注的目的是为了丰富读者的“工具箱”和“认知框架”。通过提供等价的写法，可以帮助读者在阅读不同风格的教材时无缝切换。通过引入内自同构的概念，可以将正规子群置于一个更广阔的理论背景之下，揭示它与群的对称性（自同构）之间的深刻联系，为后续的学习打下更坚实的基础。
想象你正在用 Photoshop 处理一张图层 H。
📜 [原文32]
定义 2.3.7. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 为 $G$ 的一个子群。那么 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，记为 $H \triangleleft G$，如果 $H$ 满足前两个命题的任何（因此所有）等价条件。
这是本节最重要的定义，它为满足前面所有等价条件的特殊子群赋予了一个正式的名称。
本段给出了群论中一个核心概念的正式定义：正规子群。一个子群 $H$ 被称为正规子群 ($H \triangleleft G$)，如果它满足了一系列等价条件，其中最常用和最重要的两个是：它的左右陪集相等 ($gH=Hg$)，以及它在共轭作用下保持不变 ($gHg^{-1}=H$)。正规子群的本质是那些能够保证陪集乘法良定义的“好”子群。
本定义的目的是为了筛选出那些可以用来构造商群的特殊子群，并给予它们一个明确的、统一的名称。有了“正规子群”这个概念，我们就可以简洁地陈述商群存在的条件：“商群 $G/H$ 存在，当且仅当 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群”。这个定义是群论中（特别是同态基本定理）的基石。
📜 [原文33]
备注 2.3.8. (i) 在实践中，通常通过证明对于所有 $g \in G, g H g^{-1} \subseteq H$ 来检查 $H$ 是否是 $G$ 的一个正规子群。
(ii) 通过否定定义，$H$ 不是 $G$ 的正规子群如果存在 $g \in G$ 和 $h \in H$ 使得 $g h g^{-1} \notin H$。
这个备注提供了在实际操作中如何检验一个子群是否为正规子群的实用建议。
(i) 如何证明 H 是正规子群
(ii) 如何证明 H 不是正规子群
示例 1 (证明是正规子群)：$G=D_4$ (正八边形对称群), $H=Z(D_4)=\{I, R_{180}\}$ (中心，即旋转180度)。
示例 2 (证明不是正规子群)：$G=S_4, H=D_4$ (将 $D_4$ 看作 $S_4$ 的一个8阶子群)。
本备注为检验子群是否正规提供了两条非常实用的操作指南：
本备注的目的是将抽象的定义转化为可执行的算法，为读者在解决具体问题时提供清晰的路线图。它连接了理论（等价定义）和实践（如何证明/证伪），使得正规子群的检验成为一个标准化的流程。
📜 [原文34]
示例 2.3.9. 以下是一些正规子群的示例。
(1) 对于每个群 $G$，子群 $G$ 和平凡子群 $\{1\}$ 都是正规子群。
(2) 如果 $G$ 是阿贝尔群，那么 $G$ 的每个子群都是阿贝尔群。例如，在这种情况下左陪集和右陪集之间没有区别；或者，对于所有 $g \in G$，都有 $g H g^{-1}=H$。
(3) $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的一个正规子群，因为如果 $\sigma \in A_{n}$ 且 $\rho \in S_{n}$，那么
我们将在后面看到其他方法来证明这一点。
(4) $S L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的一个正规子群，因为如果 $B \in S L_{n}(\mathbb{R})$ 且 $A \in G L_{n}(\mathbb{R})$，那么
同样，我们将在后面看到这属于一个一般性的图景。
(5) 令 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是两个群，并考虑笛卡尔积 $G_{1} \times G_{2}$。正如我们所见， $G_{1} \times G_{2}$ 有两个特殊的子群：$G_{1} \times\{1\}$ 和 $\{1\} \times G_{2}$。从定义中很容易检查出这两个都是 $G_{1} \times G_{2}$ 的正规子群。更一般地，如果 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的正规子群，且 $H_{2}$ 是 $G_{2}$ 的正规子群，那么 $H_{1} \times H_{2}$ 是 $G_{1} \times G_{2}$ 的正规子群。
(6) 对于一个群 $G$，中心 $Z(G)$ 是由
给出的子群。显然，如果 $H \leq Z(G)$，那么 $H \triangleleft G$，因为对于所有 $g \in G$ 和所有 $h \in H, g h g^{-1}=h$。特别是，$Z(G) \triangleleft G$。
这一节通过一系列重要且普遍的例子，来展示哪些类型的子群通常是正规子群。
(1) 两个平凡的正规子群
(2) 阿贝尔群的任何子群
(3) 交错群 $A_n$
(4) 特殊线性群 $SL_n(\mathbb{R})$
(5) 笛卡尔积中的子群
(6) 群的中心
本节列举了六类常见的、保证为正规子群的例子。这些例子覆盖了从最平凡的子群，到由交换性（阿贝尔群、中心）、同态（$A_n, SL_n$）以及群的构造（笛卡尔积）等多种不同来源产生的正规子群。它们是我们在实践中识别和使用正规子群的重要参考。
本节的目的是为了让“正规子群”这个抽象概念变得具体化。通过展示这些广泛存在且性质各异的例子，读者可以建立一个关于“哪些子群可能是正规的”的直觉库。这有助于在面对新问题时，能更快地判断一个子群的正规性，并理解其背后的结构原因。
📜 [原文35]
示例 2.3.10. 以下是一些不是正规子群的子群示例。
(1) 考虑 $S_{3}$ 的子群 $\langle(1,2)\rangle$，其左陪集在上面已计算出：它们是 $\{1,(1,2)\},\{(1,2,3),(1,3)\}$ 和 $\{(1,3,2),(2,3)\}$。我们声称陪集乘法不是良定义的，因此 $\langle(1,2)\rangle$ 不是 $S_{3}$ 的正规子群。考虑单位陪集 $\{1,(1,2)\}$ 和 $\{(1,2,3),(1,3)\}$ 的“乘积”。选择代表元 $1 \in \{1,(1,2)\}$ 和 $(1,2,3) \in\{(1,2,3),(1,3)\}$ 将得到乘积为 $(1,2,3)\langle(1,2)\rangle= \{(1,2,3),(1,3)\}$。如果改选代表元 $(1,2)$ 和 $(1,2,3)$，并注意到 $(1,2)(1,2,3)=(2,3)$，我们将得到陪集 $(2,3)\langle(1,2)\rangle=\{(2,3),(1,3,2)\} \neq \{(1,2,3),(1,3)\}$。因此陪集乘法不是良定义的。
(2) $D_{4}$ 不是 $S_{4}$ 的正规子群。正如我们所见，$D_{4}$ 中包含的对换只有 $(1,3)$ 和 $(2,4)$，它们对应于正方形对角线的反射。但是 $(2,3)(1,3)(2,3)^{-1}=(1,2) \notin D_{4}$，所以存在 $g=(2,3) \in S_{4}$ 和 $h=(1,3) \in D_{4}$ 使得 $g h g^{-1} \notin D_{4}$。因此 $D_{4}$ 不是正规子群。
(3) 我们列出的许多线性代数子群都不是正规子群。例如，$O_{n}$ 不是 $G L_{n}(\mathbb{R})$ 的正规子群，而 $S O_{n}$ 也不是 $S L_{n}(\mathbb{R})$ 的正规子群。事实上，对于许多群 $G$（尽管有阿贝尔群的例子），除了明显的子群 $G$ 和 $\{1\}$ 之外，很少能找到正规子群。
这一节通过三个例子，从反面来巩固对正规子群的理解，展示了“非正规”才是常态。
(1) $S_3$ 中的 $\langle(1,2)\rangle$
(2) $D_4$ 在 $S_4$ 中
(3) 线性代数中的例子
本节通过三个重要的例子，展示了许多常见的子群其实并非正规子群。
这些例子共同说明，正规性是一个很强的、不轻易满足的条件。
本节的目的是为了与前一节的正规子群例子形成鲜明对比，让读者对“正规”和“非正规”建立一个平衡的认知。如果只看正规的例子，可能会误以为所有子群都是正规的。通过展示这些重要的反例，本节强调了正规子群的特殊性和重要性，并让读者理解为什么我们需要花费这么多精力来研究和定义它——因为它远非普遍现象。
📜 [原文36]
让我们回到上面给出的 $A_{n} \leq S_{n}$ 的例子并将其推广：
命题 2.3.11. 令 $G$ 为一个群，不一定是有限的，令 $H$ 为 $G$ 的一个子群，使得指数 $(G: H)=2$。那么 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群。
证明。如果只有两个左陪集，那么 $H$ 是其中之一，另一个必须是任何 $g \notin H$ 的形式 $g H$，其中 $H \cup(g H)=G$ 且 $H \cap g H=\emptyset$。因此（与 $A_{n} \leq S_{n}$ 类似）$g H=G-H$。现在假设 $H g$ 是一个右陪集。如果 $g \in H$，那么 $H g=H$ 是一个左陪集。如果 $g \notin H$，那么 $H g \cap H=\emptyset$，因此 $H g \subseteq G-H=g H$。因此每个右陪集 $H g$ 都包含在左陪集中，因此 $H$ 是正规子群。
这个命题给出了一个非常简洁而有用的判断正规子群的充分条件。
本命题提供了一个极其有用的快捷判据：任何指数为2的子群都自动成为正规子群。证明利用了指数为2的群中，陪集结构只有子群本身和其补集这两种简单情况，从而证明了左右陪集必然相等。
本命题的目的是为了简化正规子群的判断。在很多重要的例子中（如 $A_n$ 在 $S_n$ 中），子群的指数恰好为2。这个命题使得我们无需进行复杂的共轭或陪集计算，只需简单地计算一下指数，就能立即确定其正规性。它是一个非常高效的工具。
一个国家只有两个党派：执政党（$H$）和在野党（$G-H$）。
你有一堆只有两种颜色（比如黑和白）的珠子。
📜 [原文37]
现在让我们回到将 $G / H$ 转化为一个群的最初动机。
命题 2.3.12. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 为 $G$ 的一个正规子群。那么 $G / H$ 在陪集乘法下是一个群，称为商群。此外，如果 $\pi: G \rightarrow G / H$ 是由 $\pi(g)=g H$ 定义的函数，那么 $\pi$ 是一个满射同态，称为商同态，并且 $\operatorname{Ker} \pi=H$。
证明。主要的关键是，正如我们所见，陪集乘法是良定义的。一旦如此，我们需要检查以证明 $G / H$ 是一个群的所有基本性质都“继承”自群 $G$ 中的相应性质。我们逐一检查它们：
(1) 结合律：我们必须证明，对于所有 $g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G$，
但是根据定义
这里我们使用了 $G$ 中的乘法是结合的这一事实。因此陪集乘法是结合的。
(2) 单位元：对于所有 $g \in G, H \cdot g H=(1 H) \cdot g H=(1 g) H=g H$，类似地 $(g H) \cdot H=g H$。
(3) 逆元：我们将证明 $(g H)^{-1}=g^{-1} H$。事实上，
类似地 $\left(g^{-1} H\right)(g H)=H$。
因此 $G / H$ 在乘法下是一个群。接下来我们检查函数 $\pi$ 是否是同态：对于所有 $g_{1}, g_{2} \in G$，
因此根据定义 $\pi$ 是一个同态。它显然是满射的，因为 $G / H$ 的每个元素都是 $g H$ 的形式，因此都在 $\pi$ 的像中。最后，$g \in \operatorname{Ker} \pi \Longleftrightarrow \pi(g)=g H=H$，即单位陪集。由于 $g \in g H$，如果 $g H=H$ 那么 $g \in H$；反之，如果 $g \in H$，那么显然 $g H \subseteq H$ 并且因此 $g H=H$。我们看到 $\operatorname{Ker} \pi$，根据定义是单位陪集的原像，即满足 $g H=H$ 的 $G$ 中元素的集合，恰好是 $H$。
这个命题是本章的高潮，它正式确认了我们之前所有努力的结果：只要子群 $H$ 是正规的，陪集的集合 $G/H$ 就能构成一个群，即商群。
示例：$G=S_3, H=A_3=\{1,(123),(132)\}$。我们知道 $A_3 \triangleleft S_3$。
本命题是正规子群理论的顶点。它庄严宣告：只要一个子群 $H$ 是正规的，我们就可以成功地在陪集的集合 $G/H$ 上建立一个群结构，这个群被称为商群。并且，存在一个自然的满射同态（商同态）从 $G$ 映到 $G/H$，其核正好就是 $H$。这个结论将正规子群、$H$、商群 $G/H$ 和同态 $\pi$ 紧密地联系在了一起，构成了同态基本定理的前奏。
本命题的目的是完成我们本章开始时设定的目标：将 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的构造推广到一般群。它给出了这个推广成功的条件（$H$ 必须是正规的）和成功后的结果（得到了一个结构良好的商群和商同态）。商群是群论中构造新群、分解旧群的最重要工具之一，而本命题就是赋予这个工具合法性的“出生证明”。
📜 [原文38]
备注 2.3.13. (i) 有些人称群 $G / H$ 为因子群。
(ii) 像在 $G / H$ 是结合的证明中一样，很容易看出，如果 $G$ 是阿贝尔群，那么 $G / H$ 是阿贝尔群。然而，即使 $G$ 不是阿贝尔群， $G / H$ 也有可能是阿贝尔群。例如，如果 $H$ 在 $G$ 中具有指数二，例如在 $G=S_{n}$ 和 $H=A_{n}$ 的情况下，那么 $G / H$ 的阶为二，因此同构于 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$。但是如果 $n \geq 3$， $S_{n}$ 不是阿贝尔群。
(iii) 很容易看出，如果 $G$ 是循环的，那么 $G / H$ 是循环的。例如，令 $G=\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$。那么对于每个 $d \mid n$，我们有子群 $H=\langle d\rangle$，其阶为 $n / d$。由于 $G$ 是阿贝尔群，$H$ 自动是 $G$ 的正规子群。因此 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}) /\langle d\rangle$ 是一个循环群，其阶等于 $\langle d\rangle$ 在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中的指数，即 $n /(n / d)=d$。因此 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}) /\langle d\rangle \cong \mathbb{Z} / d \mathbb{Z}$。（我们将在后面给出另一个论证。）
这个备注补充说明了商群的一些别名和重要性质。
(i) 别名
(ii) 阿贝尔性质
(iii) 循环性质
本备注阐明了商群会“继承”原群的某些良好性质，但反之不成立。
这些性质有助于我们理解和预测商群的结构。
本备注的目的是深入探讨群、$H$ 和 $G/H$ 三者之间的结构关系。通过阐明哪些性质可以从 $G$ “遗传”给 $G/H$，以及哪些不可以，它加深了我们对商群作为“简化版”原群的理解。这对于使用商群来分解和分析复杂群的结构至关重要。
📜 [原文39]
为了以后参考，我们收集一些关于正规子群的事实。证明是直接的。
命题 2.3.14. 令 $G$ 为一个群，令 $H$ 和 $K$ 为 $G$ 的子群。那么：
(i) 如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \triangleleft G$，那么 $H \cap K \triangleleft G$。
(ii) 如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \leq G$，那么 $H \cap K \triangleleft K$。
(iii) 如果 $H \leq K \leq G$ 且 $H \triangleleft G$，那么 $H \triangleleft K$。
(iv) 如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \leq G$，那么子集
是 $G$ 的一个子群。
这个命题总结了正规子群与其他子群进行交、积等运算时的一些基本性质。
(i) 两个正规子群的交集也是正规子群
(ii) 正规子群与任意子群的交集，在小群中正规
(iii) 正规性在子群链中的传递 (有限制)
(iv) 一个正规子群与一个子群的积是子群
本命题罗列了正规子群在交、积运算下的几个基本代数性质：
(i) 正规子群的交集仍是正规的。
(ii) 正规子群与子群的交集，在小子群里是正规的。
(iii) 在子群链中，最大群的正规子群也是中间群的正规子群。
(iv) 正规子群与任意子群的乘积集，结果是一个子群。
本命题的目的是为了建立一套正规子群的“代数运算法则”，让我们知道如何通过已知的正规子群来构造或识别出新的正规子群或子群。这些法则是研究复杂群的子群格结构（lattice of subgroups）的基础工具。
把正规子群想象成“理想的、完美的”组件。
把正规子群想象成“球体”。
📜 [原文40]
备注 2.3.15. (i) 警告：在上述记号中，可能会出现 $H \triangleleft K$ 且 $K \triangleleft G$，但 $H$ 不是 $G$ 的正规子群的情况。换句话说，正规子群的性质通常不是传递的。练习 4.20 中给出了例子。
(ii) 如果 $H$ 和 $K$ 是 $G$ 的两个任意子群，并且两者都不是正规子群，那么上面 (4) 中定义的集合 $H K$ 不一定是子群。例如，取 $G=S_{3}, H=\langle(1,2)\rangle=\{1,(1,2)\}$ 和 $K=\langle(2,3)\rangle=\{1,(2,3)\}$，很容易看出
特别是，$\#(H K)=4$，因此 $H K$ 不能是一个子群，否则我们将与拉格朗日定理矛盾。
这个备注通过两个重要的警告，进一步强调了前面命题的一些边界条件和潜在的误区。
(i) 警告：正规性不传递
(ii) 警告：任意子群的积不是子群
这个公式展示了如何通过遍历 $H$ 和 $K$ 的元素来构建乘积集 $HK$ 的过程。
本备注通过两个关键的警告，划清了正规子群性质的界限：
本备注的目的是为了防止读者对命题 2.3.14 中的结论进行不当的推广，从而在更复杂的群结构分析中犯错。它通过具体的反例，深刻地揭示了群论的复杂性和微妙之处，强调了在应用定理时严格遵守其前提条件的重要性。
本章将揭示正规子群和同态之间深刻而内在的联系。我们将看到，正规子群正是同态的核，而任何同态都可以通过商群来理解。
📜 [原文41]
3.1. 同态基本定理。我们首先讨论商群和同态之间的关系。如果 $G$ 是一个群且 $H \triangleleft G$，那么我们有商群 $G / H$ 和商同态 $\pi: G \rightarrow G / H$，且 $\operatorname{Ker} \pi=H$。反之，假设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是从群 $G_{1}$ 到另一个群 $G_{2}$ 的同态。我们希望根据商群来分析 $f$。第一步是以下引理：
引理 3.1.1. 如果 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是一个同态，那么 $\operatorname{Ker} f$ 是 $G_{1}$ 的一个正规子群。
证明。我们必须证明，对于所有 $h \in \operatorname{Ker} f$ 和对于所有 $g \in G, g h g^{-1} \in \operatorname{Ker} f$，或者等价地证明 $f\left(g h g^{-1}\right)=1$。但是，由于 $h \in \operatorname{Ker} f$，根据定义 $f(h)=1$，因此
因此 $\operatorname{Ker} f \triangleleft G_{1}$。
这个引理建立了从同态到正规子群的单向联系，是同态基本定理的第一块基石。
本引理揭示了同态与正规子群之间的内在联系：任何一个群同态的核，都天然地是其定义域群的一个正规子群。证明利用了同态的两个基本性质：保持乘法运算和保持逆元运算，从而证明了核在共轭作用下是封闭的。
本引理是搭建从同态到商群桥梁的第一步。它告诉我们，只要我们有一个同态，我们就能“免费”得到一个正规子群（就是它的核）。既然有了正规子群，我们就可以用它来构造一个商群。这就为后续的第一同构定理（即 $G/\operatorname{Ker}f \cong \operatorname{Im}f$）铺平了道路。它将正规子群的来源指向了一个非常广阔的领域——同态。
📜 [原文42]
第一同构定理，也称为同态基本定理，除其他外，指出两个群之间的每个同态都由三种基本类型的同态构成：商同态、同构和包含。
这段话是对即将到来的第一同构定理的一个高度概括和哲学诠释。它在给出具体定理内容之前，先说明了其在群论中的核心地位和思想。
示例：行列式同态 $f=\det: GL_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$
本段以一种高度概括的方式，介绍了第一同构定理（或称同态基本定理）的哲学意义。它指出，任何一个群同态都可以被分解为三个基本步骤：通过商同态“丢弃”核的信息，通过一个同构将得到的商群与同态的像等同起来，最后通过包含映射将像放入目标群中。这个定理的核心数学结论是：$G/\operatorname{Ker}f \cong \operatorname{Im}f$。
本段的目的是在给出形式化的定理之前，为读者建立一个关于该定理重要性和核心思想的宏观认知。通过将其描述为对所有同态的“通用分解”，它提升了定理的地位，并帮助读者理解为什么它被称为“基本定理”。这有助于读者在后续看到具体证明时，能更好地把握其主线和意义，而不是迷失在技术细节中。
[直觉心-智模型]
任何一次“汇报工作”（同态 $f$）都可以分解为三步：
同态基本定理说：你过滤掉细节后得到的“大纲”，和你最终呈现出的“文稿”，在结构上是完全等价的。
用一个“水果榨汁机”来比喻同态 $f$。
同态基本定理说：分离出来的“待榨果肉”的结构，和最终得到的“橙汁”的结构，是同构的。
这个公式定义了一个从群 $G$ 到其对称群 $S_G$ 的映射 $f$，它将每个元素 $g$ 映射到由 $g$ 决定的左乘置换 $\ell_g$。
这个推导通过群的结合律证明了 $\ell_{gh} = \ell_g \circ \ell_h$，从而证实了映射 $f$ 是一个群同态。
这个公式定义了子群 $H$ 的一个左陪集，它是由代表元 $g$ 左乘 $H$ 中所有元素构成的集合。
这个公式具体定义了3次对称群 $S_3$ 中的交错群 $A_3$，它是由3-循环生成的循环子群。
这个公式（拉格朗日定理的核心）指出，一个有限群的阶等于其子群的阶乘以该子群的指数。
这是拉格朗日定理核心公式的变形，直接给出了在有限群中计算指数的方法。
这个公式表达了陪集乘法 $(aH)(bH)=(ab)H$ 是良定义的充要条件，即用不同代表元计算的结果仍在同一个目标陪集中。
这个不等式是定理2.2.10的条件，即对于任何正整数d，方程 $x^d=1$ 在群中的解的个数不能超过d。
这个公式定义了一个函数 $\psi(d)$，用于计算群G中阶恰好为d的元素的个数。
这个分段函数总结了在满足定理2.2.10条件下，计数函数 $\psi(d)$ 的所有可能取值。
这个关键的等式与不等式链，通过夹逼论证证明了 $\psi(d)=\phi(d)$，从而证明了群是循环的。
这个公式描述了在一个子群链 $K \leq H \leq G$ 中，指数的乘法传递关系。
这个公式定义了两个子群 $H$ 和 $K$ 的乘积集，它由一个来自H的元素和一个来自K的元素的乘积构成。
这个公式展示了在 $S_3$ 中，两个非正规子群 $H=\langle(1,2)\rangle$ 和 $K=\langle(2,3)\rangle$ 的乘积集的具体计算结果。
这个公式陈述了商群运算需要满足的结合律。
这个推导展示了商群的结合律是如何从原群G的结合律“继承”而来的。
这个计算验证了在商群中，陪集 $gH$ 的逆元是 $g^{-1}H$。
这个推导证明了自然映射 $\pi(g)=gH$ 是一个群同态。
这个计算利用符号函数 $\varepsilon$ 的同态性质，证明了对任意偶置换 $\sigma$ 的共轭 $\rho\sigma\rho^{-1}$ 仍然是偶置换，从而证明了 $A_n \triangleleft S_n$。
这个计算利用行列式的乘法性质，证明了对任意行列式为1的矩阵 $B$ 的共轭 $ABA^{-1}$ 的行列式仍然为1，从而证明了 $SL_n(\mathbb{R}) \triangleleft GL_n(\mathbb{R})$。
这个公式定义了群 $G$ 的中心，即所有能与 $G$ 中任何元素交换的元素构成的集合。
这个关键的计算证明了，对于任何同态 $f$，其核 $\operatorname{Ker}f$ 在共轭作用下是封闭的，因此是一个正规子群。
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